【ノート】 加速電荷からの放射

電荷の加速によって電磁波（電波）が発生する現象はマックスウェル方程式によって記述されます。電波天文学の学習の手始めとして、私達は点電荷に加速度 $\Delta v/\Delta t$ が加えられるときに発生する電波の強度や強度の空間分布を知る必要があります。しかし、数学的に厳密な形でマックスウェル方程式を扱うと数学的な扱いが複雑になりすぎて物理的な理解を妨げる恐れがあるように思います。ここでは、J. J. Thompsonが示した比較的簡単な方法で、電波の強度や強度の空間分布を導いてみます。

静止している点電荷を考え、点電荷の電荷を $q\,[{\rm C}]$ とします（以下、単に電荷 $q$ とします）。クーロンの法則（Coulomb's law）によると、このような電荷が作り出す電場は完全に球対称で方向は動径方向です。したがって、動径方向の電場の強さを $E_r$ トータルの電場の強さを $E$ と表すと、$E = E_r$ という関係があります。次に、この点電荷が、短い時間 $\Delta t$ の間に、わずかな速度 $\Delta v \ll c$ だけ加速される場合を考えます。この加速度が時間 $t$ だけ継続したとすると、動径に直角方向の電場の強さ $E_\bot$ は次のように表されます。\[\frac{E_\bot}{E_r} = \frac{\Delta v\,t\,\sin \theta}{c\Delta t}  \]ここで、$\theta$ は、以下の図に示すように、加速度の方向と観測者の視線方向のなす角です。

図1　加速する電子が作る磁場

クーロンの法則によると、電荷 $q$ から、距離 $r$ の位置における、電場（単位電荷が受ける力）の動径方向成分 $E_\bot$ は、CGS静電単位系（Gaussian cgs units）において以下のように表される。\[E_r = \frac{q}{r^2} \tag{1}\]

(1)式を冒頭の式に代入し、$t = r/c$ を考慮すると、電場の垂直成分 $E_\bot$ は以下のように記述されます。\[E_\bot = \frac{q}{r^2} \frac{\Delta v}{\Delta t} \frac{r^2 \sin \theta}{c^2} = \frac{q\, \dot{v} \sin \theta}{r\,c^2} \tag{2}\]

(2)式の関係は、十分小さな加速に対しては常に成り立ちます。電波が電荷から観測者に届くまでにかかる時間 $t$ は $t = r/c$ を代入して整理するときに消えてしまうので、垂直方向の電場 $E_\bot$ は、電荷 $q$、電荷の加速度 $\dot{v}$、電荷から観測者までの距離 $r$、観測する方向による補正 $\sin \theta$ によって決定されることが分かります。ここで注意していただきたいのは、$E_\bot$ が $r^{-1}$ に比例するのに対して、$E_r$ は $r^{-2}$ に比例することです。この性質により、電荷から十分な遠方では、$E_r$ は $E_\bot$ に対して無視できることが分かります（つまり、十分な遠方では$E_\bot$ のみを考慮すればよい訳です）。

では、動径方向とそれに垂直な方向の電場が、それぞれどれくらいの大きさになるのかを考察してみましょう。真空中において、電磁波が単位面積当たり単位時間あたりに運ぶエネルギー流束 $\vec{S}$ （これをポインティングベクトル [Poynting vector]、もしくはポインティングフラックス [Poynting flux] と呼びます）は、CGS静電単位系では、以下のような形をしています（導出については電磁気学の適当な教科書を参照のこと）。\[\vec{S} = \frac{c}{4\pi} \vec{E} \times \vec{H}\]

CGS静電単位系では、$|\vec{E}| = |\vec{H}|$ なので、以下の関係が成り立ちます。\[|\vec{S}| = \frac{c}{4\pi}E^2 \tag{3}\]

電荷から十分離れた場所では電場は $E_\bot$ で近似できるので、(3)式に(2)式を代入することができ、以下の様な関係が得られます。\[|\vec{S}| = \frac{c}{4\pi} \left(\frac{q\,\dot{v}\,\sin \theta}{rc^2} \right)^2 = \frac{1}{4\pi} \frac{q^2 \dot{v}^2}{c^3} \frac{\sin^2\theta}{r^2} \]

この関係から、加速する電荷が作る電磁波のエネルギー分布は、図２に示した様な、電荷の運動方向を対称軸としたドーナツ型の分布であることが解ります。

図２　ラーモア放射のエネルギー分布。加速度ベクトル $\vec{v}$ から60°の位置から眺めた
状況を示している。エネルギーの大きさは、すべての位置において、$\vec{v}$ の観測方向に
垂直な方向成分に比例している。

図３　本文中の計算で用いた座標系

放射される電磁波の全エネルギーは、上記で求めたエネルギーを全方向に渡って積分することで得られます。\[P = \int_{\rm sphere} |\vec{S}|\, dA \]
\[P = \frac{q^2 \dot{v}^2}{4 \pi c^3} \int_{\phi = 0}^{2 \pi} \int_{\theta = 0}^{\pi} \frac{\sin^2 \theta}{r^2} r \sin \theta\, d \theta\, r \,d \phi \]
\[P = \frac{q^2 \dot{v}^2}{2 c^3} \int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^3 \theta\, d \theta \]

定積分の公式、$\int_{\theta = 0}^{\pi} \sin^3 \theta\, d \theta = \frac{4}{3}$ を用いると、最終的に加速する電荷が放射する電磁波の全エネルギー $P$ は次のように求まります。\[P = \frac{2}{3} \frac{q^2 \dot{v}^2}{c^3} \tag{4}\]

(4)式をラーモアの方程式（Larmor's equation）と呼びます。ラーモアの方程式から、加速する電荷はエネルギーを放射すること、またその大きさは加速度の２乗に比例することが分かります。天文学が取り扱う問題の中で、最も大きな加速は通常電磁場によって引き起こされます。また、その大きさは、通常は電荷の大きさと電荷の質量の比に比例します。したがって、例えば陽子と電子を比べると、陽子は電子よりも $2 \times 10^3$ 倍ほど大きな質量を持つので、同じ電磁場のもとで加速されるとき、電子のほうが $4 \times 10^6$ 倍強いエネルギーを放射することになります。

ラーモアの公式から出発して、短いダイポールアンテナからの放射エネルギーや、天体からのシンクロトロン放射の放射エネルギーなどを計算することができます。ただし、ラーモアの公式は非相対論的な速度範囲内においてのみ有効であることを注意して下さい。つまり、扱う速度 $v$ が $v \ll c$ のときのみこの公式を適用することができます。相対論的な問題を扱う場合、つまり問題とする電荷が観測者のいる座標系に対して光速に近い速度で運動している場合、まず電荷が静止しているみなせる座標系においてラーモアの公式を適用し、その後に、相対論にしたがって、得られた結果を観測者の座標系に変換する必要があります。また、相対論的な効果と同様に、ラーモアの公式は、量子力学的な観点からの制約もあり、分子や原子レベルのミクロスコピックな問題に適用する場合にも注意が必要です。例えば、水素原子内の電子にラーモアの公式をそのまま適用してしまうと、電子があっというまに原子核に落ち込んでしまうという結果になり、結果が現実に会いません。

第５回 大気の窓 ― その４

これまで３回にわたって、地球大気の電波域における通過特性を、主に吸収と散乱の効果についてまとめてきましたが、今回は、大気の窓の話の最後として、大気から放射される電波の影響について簡単にまとめます。

地球大気は、宇宙から飛来した電磁波を減衰させる働きをしますが、実はそれだけではなく、大気自体も強い電波を放射しています。この大気が放射する電波は、地上から宇宙電波を観測する際に、大きな障壁として立ちはだかります。

前回、地球大気の不透明度を表すために光学的厚み $\tau$ という量を用いました。既にお話したとおり、大気の光学的厚みが $\tau$ のとき、宇宙からやってきた電磁波の強度は、大気を通り抜ける間に $\exp(-\tau)$ 倍まで減衰します。

さて、電波天文学では、システム温度 $T_{\rm s}$ という量をノイズの指標として使います。システム温度で表されるノイズレベルには、受信機からのノイズ、大気からのノイズ、その他の装置からでるノイズなど全てのノイズが含まれています。システム温度の詳細は別の機会に説明したいと思いますが、$T_{\rm s}$ の値が大きいほどノイズが大きく弱い電波の受信が困難となります。

温度が $T$ の大気は、システム温度 $T_{\rm s}$ を、$\Delta T_{\rm s}=T\{1-\exp(-\tau)\}$ だけ上昇させます。（ここでの大気の温度 $T$ は、正確には運動温度（kinetic temperature）と呼ばれるものですが、運動温度については、後に天文学的な問題を扱う際に詳しく説明したいと思います。）

大気の温度は絶対温度で 300 K 程度ですが、近年の受信機を用いた場合の受信機起源のシステム温度は 300 K よりも遥かに小さいので、ノイズを引き起こす主たる要因は大気の電波放射ということになります。前回まで吸収や散乱の効果を見てきましたが、実は微弱な宇宙電波を観測する電波観測において、一番大きな観測阻害要因は大気からの電波放射なのです。

電波観測においては、地球大気が放つ猛烈なノイズの海の中から、非常に微弱な宇宙電波を受信するという大変困難な作業を行っているのです。

標高5000mのサイトに設置されたALMA望遠鏡

したがって、高い感度の電波観測を行う現代の電波望遠鏡は、大気の影響を少なくするために水蒸気量の少ない高地に設置される場合がほとんどです。上の写真は最近稼動し始めたALMA望遠鏡ですが、標高5000mの地点（チリのアタカマ高原）に設置されています。ALMAのサイトでは、前回説明した可降水量（pwv）が、0.1 cm 以下という非常に乾燥した状況で観測することが可能です。


下図は、ALMA望遠鏡のサイト近くで計測された大気の透過度特性です。ALMA望遠鏡は、最終的に下図に示されているような10の周波数帯（バンド）で観測することを目指していますが、高い周波数に行くほど大気の透過度が低く、観測が困難であることが理解できます。このような非常に透過度の低い高い周波数での観測を計画しているために、ALMAは5000mという高所に設置されているわけです。

ALMAサイト近くで計測された大気の透過特性

次回は、電波域における大気の窓で具体的にどのような天体や天文学的な現象が観測されるのかを見ることにしましょう。

第４回 大気の窓 ― その３

地球大気では電波はあまり吸収されず、地上での観測が可能であるという話を前回までしてきました。しかし、厳密に言うと地球の大気は電波の波長で完全に透明ではありません。今回は、大気によってどのように電波が吸収されるかを詳しく見てみましょう。

まず、アメリカの西バージニア州にある米国立天文台グリーンバンク観測所における天頂方向の電波の透明度を計測した結果（下図）を見てみましょう。この計測は、可降水量が1cm、地表の温度が 288 K（摂氏15℃）、雲が全天の55％を覆っている状態で行われたものです（この数値は、グリーンバンク観測所における夏の標準的な天気を表しています）。

可降水量(pwv: perceptive water vapor）は、大気中の水蒸気を全部液体として溜めた場合どの程度の深さとなるかを表した量で、大気中の水蒸気量を表す単位としてしばしば用いられます。

上図において大気の不透明度（縦軸）は、光学的厚み $\tau$ という量で表されています。光学的厚みについては追々回を改めて詳しく解説する予定です。ここでは、光学的厚みが $\tau$ のときは、宇宙から飛来した電磁波の強度が、大気を通り抜ける間に $\exp(-\tau)$ 倍まで減衰されるということだけ理解しておいてください。

上図で電波域における大気の透明度（光学的厚み）は実線で表されていますが、この透明度はいくつかの成分から構成されています。大気の透明度を決定付けている個々の吸収メカニズムについて、その特徴を以下で詳しく見て行きましょう。

長い破線で表されている「乾燥空気」による不透明性は、非極性分子の粘性減衰と呼ばれる効果によって引き起こされます。しかし、上図に見られるとおり $\tau_{z} \sim 0.01$ と、乾燥大気の寄与は他の成分に比べてごく小さくあまり重大な吸収の要因ではありません。この効果による吸収は、周波数との相関はあまり強くありません。

上図中、「酸素」で表されている成分（中破線）は、酸素分子による吸収を表しています。酸素分子（${\rm O_2}$）は、同じ分子が二つくっついた分子で、永久電気双極子モーメントがありませんので、回転遷移がないように思いがちですが、実は永久磁気双極子モーメントが存在し、回転遷移が存在します。大気中の酸素分子のラインは、大気による圧力効果で大きく広がり、60 GHz あたりの周波数で極めて強い吸収を引き起こします。酸素による吸収のため、52 GHz から 68 GHz あたりでは地上からの電波観測はほとんど不可能です。

ハイドロゾルは、半径が 0.1 mm 以下の水の細かな粒子のことで、雲に多く含まれています。ハイドロゾルの粒子によって電波が散乱されることによって不透明性が発生します（上図の一点鎖線）。ハイドロゾルの大きさは、電波の波長よりも十分に小さいので（例えば、周波数 120 GHz における波長は 2.5 mm）、散乱はレイリー近似によって記述されます（レイリー近似で表される散乱は、レイリー散乱と呼ばれます）。上図のハイドロゾル成分のグラフでも明らかなとおり、レイリー散乱では、不透明度（光学的厚さ $\tau$）は、波長の逆２乗（$\lambda^{-2}$）、 もしくは周波数の2乗（$\nu^2$）に比例します。

水分子には、22.235 GHzに強いラインが存在するために大気中の水分子によってこの周波数近辺で吸収が起こります。上図では、22.235 GHz の周りに吸収パターンが大きく広がっていますが、これは大気中の水分子のラインが大気の圧力による影響で広がっているためです。地球大気の中では、水分子ラインのライン幅は 4 GHz 程度まで広がります。また、22.235 GHz から離れた周波数でも水蒸気による吸収が見られますが、これは赤外域にある極めて強いラインの裾野が電波域にも影響を与えていることによって起こる吸収です（広い範囲で吸収が起こるので「連続吸収」と呼ばれることがあります。）　この二つの吸収の強さは、原因が大気中の水分子ですので、可降水量（つまり水分子の柱密度）に比例します。

今回までは大気による吸収や散乱の効果を見てきましたが、次回は大気が出す電波放射も、電波天文学の観測を邪魔する要因となるという話をしたいと思います。

第３回 大気の窓 ― その２

今回は大気の窓についてもう少し詳しく見てゆきましょう。

電磁波が大気によって減衰される度合いは、周波数によって異なり、可視光や電波の波長域では、あまり減衰されずに宇宙起源の電磁波が地表まで届くという話を前回しました。では、大気による電磁波の吸収はどのような物理過程によって引き起こされているのでしょうか。

電波域における大気の窓の上限は、大気中の ${\rm CO_2}$、${\rm O_2}$、${\rm H_2O}$ といった分子の影響で既定されています。このような分子では、異なる振動励起状態間のエネルギーの差がおおよそ中間赤外線の波長域に相当するため、宇宙起源の中間赤外線光子は、これらの分子と出会うと吸収されてしまいます。（エネルギー $E$ と、振動数 $\nu$ の間には、$h$ をプランク定数として、$E=h\nu$ の関係があるので、エネルギーを波長で表すことができます。プランク定数 $h$ の値は、おおよそ $6.626 \times 10^{-27} {\rm erg\, s}$ です。）

また大気を構成する分子の回転遷移状態間のエネルギーは、遠赤外から電波域に広く分布するため、周波数によって電波域でも大気の吸収が大きくなる場合があります。

一方、電波域における大気の窓の周波数が低い方の端では、周波数 300 MHz のあたり（波長で言うと 30 m程度）ぐらいを境として、電離層の反射の影響で地上での観測が難しくなります。電離層における電磁波の反射率は、$\lambda^2$ に比例して強くなります。したがって、長波長の電波で見た地球は鏡でできた球体のようなもので、宇宙からの長波長の電波は地表に届く前に、電離層でほぼ完全に反射されてしまいます。

大気中の分子は、紫外線、X線、γ線の波長域でも強い吸収を起こします。紫外線の波長は、分子を構成する原子の、電子遷移のエネルギー差に相当するため吸収が起こります。同様に、X線、γ線の波長は、原子核における核遷移のエネルギー差に相当するため吸収が起こります。

ちなみに電波の波長域では、可視光のような大気の散乱による影響は受けません。可視光の場合、大気中のチリ等によってレイリー散乱されるため、空全体が明るくなり日中は地上からの観測ができません。しかし、電波の波長は、大気中のチリ粒子のサイズよりも遥かに大きく、散乱がおこりません。このため、電波の観測は日中であっても行うことができます。

次回は、電波の波長帯における大気の吸収特性をより詳しく見ていくことにします。

第２回 大気の窓 ― その１

前回の最後に、宇宙からのやってくる電波のうち波長がおおよそ30mよりも長いところは、ほとんどが電離層で吸収され、地表では観測できないという話をしましたが、大気による電磁波の吸収は、観測天文学ではとても重要な課題です。これから数回にわたって、地球大気の電磁波の通貨特性についてまとめてゆきます。

地球の大気というのは、実に広い波長範囲に渡って電磁波を吸収します。紫外線、X線、γ線はほぼ完全に大気で吸収されますし、赤外線の大部分も大気で吸収され地表に届くときには大きく減衰してしまいます。下図に横軸に波長をとった場合の、大気による電磁波の吸収の度合いを示します。半減高度が高いほど吸収が大きいことを示しています。

図　大気による電磁波の吸収特性

この図を見ると、大気で吸収されずに地表まで届く波長帯は、可視光と電波のみであることがわかります。つまり、地表で観測ができる波長は、基本的に可視光と電波の領域に限られるということになります。このことから、可視、電波の二つの波長帯は、『大気の窓』と呼ばれることがあります。

可視光は、人間が肉眼で見ることができる波長帯であるため、観測天文学の歴史において、最も早くから研究が行われてきました。可視光域における大気の窓は、上図に見られるように比較的狭い範囲に限られます。

電磁波の波長は、黒体放射を表すプランクの分布式を使うと温度でも表現することができますが、可視光の大気の窓は、温度で表すと $T \sim 3000$ K から $T \sim 10000$ K ぐらいの範囲となります。したがって、可視光で見える天体は、おおよそこの程度の温度を持った星や高温のガスなどが中心となります。（また、太陽系の惑星や彗星など、星などの光を反射する天体も観測可能な場合があります。）

温度が $T \sim 3000$ K から $T \sim 10000$ K 程度の天体は、プランクの放射式が示す放射強度の分布を考えると、電波の波長域では非常に暗く到底検出することは不可能だと、可視光域のみで観測を行っていた初期の天文学者は考えていました。当時の固定観念は、1932年のある無線技術者による偶然の発見を機に瓦解して行くこととなります。（初期の電波天文学の歴史についてはまた追々、回を改めてお話してゆくことにします。）

上図で解るように、電波帯における大気の窓は、可視光における大気の窓に比べて格段に広い波長に渡っています。したがって、電波を放射する天体も、天体が電波を放射するメカニズムも様々なものが存在します。（これらも追々説明していきます。）

上図では、横軸を波長で表しましたが（$1\mathrm{\mathring{A}}= 10^{-10} {\rm m} = 10^{-8} {\rm cm}$）、電波天文学では電磁波を振動数（周波数）単位で表すことも多いです。振動数 $\nu$ と波長 $\lambda$ は、$c$ を真空中の光速として $\nu = c/\lambda$ という関係で結ばれているので、$\lambda = 1$ cm は、$\nu = 30$ GHz に相当します。

第１回でもふれましたが、波長が 30 m （$3 \times 10^{11}$ Å）よりも長い領域では、電離層による反射のため地表に届かなくなります。（吸収ではなく反射のため上図には示されていません。）

次回は、大気の通過特性についてさらに詳しく見て行きます。

第１回 電波天文学とは何か

このブログでは、高校程度の数学と物理の知識を前提として、天文学の研究に必要な基礎的な知識をまとめていこうと考えています。個人的な興味で当面は電波天文学に関する内容をまとめて行く予定です。では早速内容に入ることにします。

電波の観測を行っている国立天文台
野辺山宇宙電波観測所の45mミリ波望遠鏡

さて、電波天文学とはどういった学問なのでしょうか。簡単に言うと、天体から放射される電波を研究する学問分野、もしくは天体から放射される電波を利用して天体を研究する学問分野、といった感じになると思います。

ここで注意深い人なら、「電波というのは波長や振動数で表すとどこからどこまでの範囲を指すのか？」という疑問を持ちそうですが、実は電波天文学で扱う電磁波の波長の範囲や振動数の範囲というのは実はあまり明確ではありません。

電波天文学が扱う電波の範囲を決める要素は大まかに三つあります。一つ目は、大気の透過特性、二つ目が電波受信技術による限界、三つ目が量子ノイズなどによる理論的な限界です。

電波天文学で扱う上限の振動数は、おおよそ$\nu \sim 1$ THz 程度です。（1 THzは、$10^{12}$ Hzです。）　波長$\lambda$と振動数$\nu$の間には、真空中の光速を$c$として、$\lambda = c/\nu$の関係があるので、1 THzは波長では、おおよそ0.3 mmに相当します。天文学において、この振動数よりも大きな電磁波を扱う分野は、赤外線天文学という呼ばれ方をします。

この境界は、電波受信機（ヘテロダイン受信機）の技術的な限界で決まっているのですが、技術の発展にともなって、年々電波受信機で受信できる電磁波の上限振動数が上がる傾向にあり、電波天文学と赤外線天文学の境界が曖昧になりつつあります。

一方で、振動数が低いほう（波長が長い方）では、電離層による吸収によって、おおよそ10 MHz（波長で、30 m）が地上から観測できる限界ということになります。（もちろん、大気圏外に出ればこの限りではありません。）

次回は、大気の透過特性、つまり大気の窓について詳しく見ていくことにしましょう。